1 乐器的振动模式

1.1 简正振动模式（Normal wave）

所有的乐器都是通过振动的方式来产生声音的。其中，简正振动方式又称简正模式或简正波（normal wave），是无阻尼系统的一种自由振动模式。其频率称为简正频率。在低频段下，同一系统有多个简正振动可以被激发。这些简正频率可以线性叠加，反过来说一个振动总系统无论有多复杂，都可以分解为简正振动方式的和。

木管乐器、铜管乐器和打击乐器都是直接发出声音。可是小提琴是间接的辐射声音。因为振动弦本身辐射的能量微乎其微。比如电小提琴不插电的话，声音小的像蚊子叫一样很。为了获得更大的声音，来自振动琴弦的能量必须转移到琴体这种更大面积、更有效的辐射表面。至此产振动模式就变复杂了。后续的振动模式涉及到小提琴所有组件的相互作用和振动，如琴弦、琴码、面背板、音柱、琴颈，甚至小提琴体内部的空气。一把小提琴就相当于一个庞大复杂的振动系统，刚才说的各种部件就相当于一个个独立的子系统。每一个子系统都有自己的简正振动模式。

学电的同学可以忽略以上内容，令人赏（ji）心（pi）悦（ge）目（da）的公式为：

1.2 共振（Resonance）

大家都荡过秋千。当我们掌握好节奏，只需要在秋千到达最高点时轻轻一推，秋千就可以荡得很高。但是如果我们只知道瞎几把推，那荡秋千的人就很难受，秋千也荡不起来。这种当外力的作用（或者另一个振动），和物体本身的振动频率相同时，造成外力（或振动）被放大的现象，就是共振(resonance)。

有耿直的朋友会问，为什么当外部的频率恰当的时候，就可以对物体或者系统引发共振呢？请后排睡着的朋友们和我一起举起双手。我们试着用最自然的状态把整个手臂甩起来，甩的时候请注意不到打到其他同学练。这时候基本不会费什么力气。但是如果我们加快或者减小甩手的频率，那就会变得开始吃力起来。因为当手还在想要往回走的时候，我们因为频率比它高，用的力气已经开始往前。而当手开始往前的时候，我们的力气又要开始往后走了。这个过程里面，一大部分的能量都通过做负功而耗散掉。

但是如果在共振频率上面，当手想要往前的时候，我们给的力气刚好也是往前，手想要往后的时候，给的力也是往后。这样以来，这个力一直对着手臂做正功，使得手臂获得的能量越来越大，振幅越来越大，因此共振也就产生了。对于一端闭合的管状物体，共振会发生在腔体共振频率和它的奇数倍频率上：

 

其中f为共振发生的频率，L为腔体长度，d为腔体直径，v为波速，n为正奇数。

1.3 导纳（Admittance）

在声学上导纳定义为一界面(surface)上，例如，任何材料界面，墙、或火箭喷嘴面等，因声波扰动所造成之垂直向扰动速度与界面上声波压力扰动量的比值。数学上，声导纳为一复数值。其实数部分代表当声波传递至界面时，界面是吸收或放出能量予声波；虚数部分则代表声波传递至界面而反射时，时间的延迟现象。因此，声导纳可用来描述一界面之边界条件情形。例如，任何材料，其声导纳之值可用来判断此材料之吸音能力。一完全刚性墙，当声波传递碰到此刚性墙时，会造成声波之完全反射，因此，其垂直向之速度扰动为零，故声导纳为零。一般而言，声导纳与声波传播之频率有关。

1.4 多重振动模式（Multi-mode Systems）

对于所有具有多种振动模式的乐器，在驱动点P处的导纳可以写作AnP，代表各个独立振动系统的阻抗并联相加。因此，

多共振模式乐器的振动响应可通过将测得的导纳与该函数拟合来表征，该函数给出激励点处的有效质量、各激励模式的共振频率和Q值。使用这样的方法[Bissinger]我们可以识别出4 kHz以下小提琴的大约40种振动结构模式。然而，在高频率下，单个共振的宽度超过了它们之间的间距，使得识别单个模式变得越来越困难。更重要的是要认识到阻尼只在单个共振峰周围的相对较窄的频率范围（fn/Q）上才重要。在这些区域之外，与每个振动模式相关联的被动组件继续对导纳作出重要贡献。所有这些振动模式和振动结构影响着小提琴的全局声学特征。

2.乐器的声辐射（Radiation from instruments）

虽然乐器的许多振动模式都可以被同时激发，但它们对声辐射的贡献是不同的。这对声音的质量有着重要的影响。本节简要介绍乐器振动模式的声音辐射。

2.1 定义

声辐射（radiation of sound）是指乐器在空气中形成声场的过程。乐器的振动引起周围的空气振动，向远方传播，形成声波和声场。声辐射一方面要研究声源振动时与介质的转化效率，另一方面也要研究声场（有声波存在的区域）的规律。

2.2 声源辐射效率

一个声源振动的能量中有多大的比例转化为声能？这取决于声源和介质的相互作用，主要受如下因素影响。

2.2.1 传播介质

在不考虑乐器在太空中和水下演奏的情况下，以后提到的介质都统一指的是地球标准大气压下的空气。在空气中传播的声速主要受温度影响，次要受空气湿度影响。假设空气温度20摄氏度，空气湿度50%则声速约等于343米/秒。声速公式为：

2.2.2 声辐射强度

主要受声压级（SPL）影响：

声压级（SPL）相对于2.10-5 Pa或Nm-2的参考声压po以dB为单位进行测量，因此声压级（dB）=20 log10（p/po）

2.2.3 面板声辐射

很多乐器振动的方式都是通过一个二维平面的振动，比如小提琴的面板和鼓面。显然鼓的声辐射性能不如小提琴，这与二维平面的几何非对称性有重要关系。这个比较可能会让打击乐的同学不开心，那就还是用小提琴的面板也依旧成立。当我们去掉了低音梁之后，同一把小提琴的声辐射效率会有显著的降低。

在提琴面板的振动中随着频率的增加，存在着一个临界频率。当面板的相速度小于声波在空气中传播速度的时候，小提琴的声辐射效率较低。当达到2Khz频率时，面板的声辐射效率较高。

2.3 声场对声辐射的影响

声场指的是空间内存在声波的区域。声辐射最主要的性质是其产生的声场的性质，如声场的频率、强度和空间分布等。

2.3.1 球面波（Spherical Waves）

设想在无限大的空间且均匀媒质中有一球状声源，其表面迅速地膨胀和收缩，且表面上的各点作同相位同振幅的振动，向周围媒质辐射的波就是球面波。这种声波是球对称的，即声压的大小仅与离球心的距离有关。任何形状的声源，只要它的尺寸比波长小的多得都可以看作点声源，辐射球面波。

 

2.3.2 近场与远场

声场中描述压力与粒子速度相关性的三维波动方程：

 

近场就是当其中kr<1。此时压力与声速呈相位正交，不涉及能量的损耗也没有声辐射。相反在远场中（kr>1)，声压与声速同相对周围的空气做功。声辐射强度变化为1/r2。例如当频率为340Hz时，距离音源15厘米以内的空间为近场，超过15cm为远场。对于演奏家来说自己听到的声音和观众听到的声音截然不同，这种区别并不止是改变了听起来音量的大小。反过来对于其他乐器的演奏家来说，大部分情况下自己的耳朵都会距离乐器15厘米以上，这意味着自己听到的声音和观众听到的除了音量大小之外并没有其他太多的变化。

2.3.3 指向性与多级源

在低频率下，声波波长通常比声源乐器的物理尺寸大得多（比如琴体的大小），这个阶段可以将声源视为向空间方向均匀声辐射的单独一个点的辐射源。然而，当波长与声源乐器的尺寸差不多的时候，声辐射就有了指向性。这种特性由琴体的几何结构；激励模式；振动模式三方面塑造而成。我们将这种指向性的区别描述为单级；偶极其；四极和高阶多极声源叠加。

3.  解构声音

3.1 乐器的波形

声学上最重要的波形正弦波（Sinusoidal Waves）在音乐声学的领域内并不是是最重要的。这种听起来虽然纯净但是永远干巴巴的声音毫无层次感。除了正弦波，之前我们还提到过另外三种波形：锯齿波、方波和三角波。这三种才是各种乐器发出的波形。

既然之前说过任何声音，无论多么复杂都可以用正弦波的叠加以频谱的方式来描述。那么我们就可以用这种方式人工合成出某种声音。例如下面这段人工合成的锯齿波音频a，同时我们加入了另一段双簧管b在同一音高上的录音用以比较两者听起来到底有什么区别：

两者之间的音质很容易分辨出哪个更好听一点。将上述两端音频进行分析之后可以得到如下结果：

人工合成的声音和真实乐器的声音看起来的区别就是这样的。图中的这些主要的特性决定了音色，他们就是整体包络结构、波形、振幅与频谱。

3.2 傅里叶理论

实际的乐器演奏中，情况远比上面那个例子要复杂。波形和频谱从一个音符到下一个音符都会发生显著变化，甚至在一个音符内也会发生变化，尤其是在弦乐器上。尽管波形复杂，任何重复的波形都可以描述为正弦波的线性叠加，其频率是基波的整数倍。下图所示黑管演奏的D#4和小提琴演奏的G3都可以将波形转化为看起来更舒服一点的频谱图：

如何办到将重复的波形都描述为正弦波的线性叠加？这个频谱图怎么算出来的？这时就需要请到大神傅里叶了。由于这部分比较难理解，除了声学的一些基本概念还需要三角函数和微积分作为基础。希望有兴趣的亲们可以在了解傅里叶理论之前先复习下初中与高中课本内的这部分知识，可以更快速的理解我们未来要经常讨论的频谱图到底是怎么来的。相信这些都是必要的，因为古人云：

• 所谓傅立叶变換无非就是：对一些复杂的函数, 很难用用公式作出解析表达。一些数学家提出，满足一定的条件下可以用一系列的正弦函数逼近那个难以表达的原函数。习惯上，把原函数的变量称为时间变量。而傅里叶变换结果变量，称为频率变量。前者以时间排序，表达的是实际的物理时间过程。后者 以频率排序。表达的是实际物理的结构参数（固有频率）或者,运动的重复性信息（运动周期.）
• 所谓谱:都是按一定的规则排序就称为谱。在计算上实际上就是线性代数的一个列阵（原函数的抽样序列）乘上一个方阵（核函数或称基函数,得到另外一个列阵。（其实任何一个积分变换,在数学上都是一个矩阵乘法,定义不同的方正元素就对应不同的积分变換）前后两个列阵在空间上旋转了90度。

3.2 奔放外一篇 ：看不懂可以掐死作者的傅里叶理论解读

前言：

谨以此文献给大连海事大学的吴楠老师，柳晓鸣老师，王新年老师以及张晶泊老师。

傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了，所以很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。老实说，这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程，不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。（您把教材写得好玩一点会死吗？会死吗？）所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析，有可能的话高中生都能看懂的那种。所以，不管读到这里的您从事何种工作，我保证您都能看懂，并且一定将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。至于对于已经有一定基础的朋友，也希望不要看到会的地方就急忙往后翻，仔细读一定会有新的发现。

抱歉，还是要啰嗦一句：其实学习本来就不是易事，我写这篇文章的初衷也是希望大家学习起来更加轻松，充满乐趣。但是千万！千万不要把这篇文章收藏起来，或是存下地址，心里想着：以后有时间再看。这样的例子太多了，也许几年后你都没有再打开这个页面。无论如何，耐下心，读下去。这篇文章要比读课本要轻松、开心得多……

3.2.1. 嘛叫频域：

从我们出生，我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。这种以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析。而我们也想当然的认为，世间万物都在随着时间不停的改变，并且永远不会静止下来。但如果我告诉你，用另一种方法来观察世界的话，你会发现世界是永恒不变的，你会不会觉得我疯了？我没有疯，这个静止的世界就叫做频域。先举一个公式上并非很恰当，但意义上再贴切不过的例子：在你的理解中，一段音乐是什么呢？

 

 

 

 

这是我们对音乐最普遍的理解，一个随着时间变化的震动。但我相信对乐器小能手们来说，音乐更直观的理解是这样的：

好的！下课，同学们再见。

是的，其实这一段写到这里已经可以结束了。上图是音乐在时域的样子，而下图则是音乐在频域的样子。所以频域这一概念对大家都从不陌生，只是从来没意识到而已。现在我们可以回过头来重新看看一开始那句痴人说梦般的话：世界是永恒的。将以上两图简化：

                                                                

时域                                                                                                                 频域

在时域，我们观察到钢琴的琴弦一会上一会下的摆动，就如同一支股票的走势；而在频域，只有那一个永恒的音符。

所（前方高能！~~~~~~~~~~~非战斗人员退散~~~~~~~）以（~~~~~~~~~~~~~~~前方高能预警~~~~~~~~~~~~~~前方高能~~~~~~~~）

你眼中看似落叶纷飞变化无常的世界，实际只是躺在上帝怀中一份早已谱好的乐章。

（众人：鸡汤滚出知乎！）

抱歉，这不是一句鸡汤文，而是黑板上确凿的公式：傅里叶同学告诉我们，任何周期函数，都可以看作是不同振幅，不同相位正弦波的叠加。在第一个例子里我们可以理解为，利用对不同琴键不同力度，不同时间点的敲击，可以组合出任何一首乐曲。而贯穿时域与频域的方法之一，就是传中说的傅里叶分析。傅里叶分析可分为傅里叶级数（Fourier Serie）和傅里叶变换(Fourier Transformation)，我们从简单的开始谈起。

3.2.2 傅里叶级数(Fourier Series)

还是举个栗子并且有图有真相才好理解。如果我说我能用前面说的正弦曲线波叠加出一个带90度角的矩形波来，你会相信吗？你不会，就像当年的我一样。但是看看下图：

• 第一幅图是一个郁闷的正弦波cos（x）
• 第二幅图是2个卖萌的正弦波的叠加cos(x)+a.cos(3x)
• 第三幅图是4个发春的正弦波的叠加
• 第四幅图是10个便秘的正弦波的叠加

随着正弦波数量逐渐的增长，他们最终会叠加成一个标准的矩形，大家从中体会到了什么道理？（只要努力，弯的都能掰直！）随着叠加的递增，所有正弦波中上升的部分逐渐让原本缓慢增加的曲线不断变陡，而所有正弦波中下降的部分又抵消了上升到最高处时继续上升的部分使其变为水平线。一个矩形就这么叠加而成了。但是要多少个正弦波叠加起来才能形成一个标准90度角的矩形波呢？不幸的告诉大家，答案是无穷多个。（上帝：我能让你们猜着我？）

 

 

不仅仅是矩形，你能想到的任何波形都是可以如此方法用正弦波叠加起来的。这是没有接触过傅里叶分析的人在直觉上的
第一个难点，但是一旦接受了这样的设定，游戏就开始有意思起来了。还是上图的正弦波累加成矩形波，我们换一个角度来看看：在这几幅图中，最前面黑色的线就是所有正弦波叠加而成的总和，也就是越来越接近矩形波的那个图形。而后面依不同颜色排列而成的正弦波就是组合为矩形波的各个分量。这些正弦波按照频率从低到高从前向后排列开来，而每一个波的振幅都是不同的。一定有细心的读者发现了，每两个正弦波之间都还有一条直线，那并不是分割线，而是振幅为0的正弦波！也就是说，为了组成特殊的曲线，有些正弦波成分是不需要的。这里，不同频率的正弦波我们成为频率分量。

好了，关键的地方来了！！如果我们把第一个频率最低的频率分量看作“1”，我们就有了构建频域的最基本单元。对于我们最常见的有理数轴，数字“1”就是有理数轴的基本单元。（好吧，数学称法为——基。在那个年代，这个字还没有其他奇怪的解释，后面还有正交基这样的词汇我会说吗?）时域的基本单元就是“1秒”，如果我们将一个角频率为的正弦波cos（t）看作基础，那么频域的基本单元就是。有了“1”，还要有“0”才能构成世界，那么频域的“0”是什么呢？cos（0t）就是一个周期无限长的正弦波，也就是一条直线！所以在频域，0频率也被称为直流分量，在傅里叶级数的叠加中，它仅仅影响全部波形相对于数轴整体向上或是向下而不改变波的形状。

接下来，让我们回到初中，回忆一下已经死去的八戒，啊不，已经死去的**是怎么定义正弦波的吧。

正弦波就是一个圆周运动在一条直线上的投影。所以频域的基本单元也可以理解为一个始终在旋转的圆:

 

介绍完了频域的基本组成单元，我们就可以看一看一个矩形波，在频域里的另一个模样了：

这是什么奇怪的东西？这就是矩形波在频域的样子，是不是完全认不出来了？教科书一般就给到这里然后留给了读者无穷的遐想，以及无穷的吐槽，其实教科书只要补一张图就足够了：频域图像，也就是俗称的频谱，就是——